No, no habría forma de instalarlo y ejecutarlo si solo está utilizando una cuenta de alojamiento compartido. Necesitaría la capacidad de iniciar sesión y realizar cambios.
Sin embargo, siempre puede buscar alternativas como usar un servicio externo alojado en MongoDB como MongoHQ . De esa manera, aún puede usar MongoDB. La desventaja es que lo más probable es que termine pagando más por el servicio.