Actualización:
MongoServer.Create
ahora está obsoleto (gracias a @aknuds1). En su lugar, utilice el siguiente código:
var _server = new MongoClient(connectionString).GetServer();
Es fácil. Primero debe tomar el nombre de la base de datos de la cadena de conexión y luego obtener la base de datos por nombre. Ejemplo completo:
var connectionString = "mongodb://localhost:27020/mydb";
//take database name from connection string
var _databaseName = MongoUrl.Create(connectionString).DatabaseName;
var _server = MongoServer.Create(connectionString);
//and then get database by database name:
_server.GetDatabase(_databaseName);
Importante :si su base de datos y la base de datos de autenticación son diferentes, puede agregar un parámetro de consulta authSource=para especificar una base de datos de autenticación diferente. (gracias a @chrisdrobison )