Usando $ existe en una expresión MongoDB

Deberá usar el $or operador lógico para hacer esto.

{
   "$or": [
      {
         "$expr": {
            "$ne": [
               "$firstName",
               "$lastName"
            ]
         }
      },
      {
         "fullName": {
            "$exists": true
         }
      }
   ]
}

Su última consulta falló porque mongod cree que $exists es la expresión que está pasando el $expr operador.