Comparar dos matrices de objetos y verificar si tienen elementos comunes

3.6 Actualización:

Usa $match con $expr . $expr permite el uso de expresiones de agregación dentro de $match escenario.

db.collection.aggregate([
  {"$match":{
    "$expr":{
      "$eq":[
        {"$size":{"$setIntersection":["$FirstArray.Name","$SecondArray.Name"]}},
        0
      ]
    }
  }},
  {"$project":{"_id":1}}
])

Versión antigua:

Puedes probar $redact con $setIntersection para su consulta.

$setIntersection para comparar el FirstArray s Name s con SecondArray s Name s y devuelve una matriz de documentos de nombres comunes seguidos de $size y $redact y compare el resultado con 0 para conservar y eliminar el documento.

db.collection.aggregate(
  [{
    $redact: {
      $cond: {
        if: {
          $eq: [{
            $size: {
              $setIntersection: ["$FirstArray.Name", "$SecondArray.Name"]
            }
          }, 0]
        },
        then: "$$KEEP",
        else: "$$PRUNE"
      }
    }
  }, {
    $project: {
      _id: 1
    }
  }]
)