Busque y elimine todos los documentos cuya fecha de creación sea un mes anterior

Puede intentar obtener un objeto de fecha que incluya el mes de la fecha actual (teniendo en cuenta que las fechas de los meses de JavaScript son un índice basado en 0) y agregar 1 para obtener la fecha de un mes a partir de ahora, que luego puede usar en su consulta con $gt operador en createdDate campo:

var now = new Date();
d = new Date(now.getFullYear(), now.getMonth()+1, now.getDate());
db.collection.remove({ createdDate: { $gt: d } })

ACTUALIZAR

Para su segunda pregunta,

MongoDB actualmente no tiene soporte para la programación de trabajos nativos. La mayoría de los sistemas operativos tienen una forma de ejecutar programas programados como cron o el Programador de tareas de Windows, etc., por lo que dado que esta es una pregunta bastante amplia, solo puedo sugerirle que escriba un script de shell personalizado con lo anterior que puede programar con el Programador de tareas de Windows para que se ejecute todos los días. .