¿Cambiar mayúsculas en mongo a camel casing?

Puede utilizar una función auxiliar para obtener la respuesta deseada.

function titleCase(str) {
    return str.toLowerCase().split(' ').map(function(word) {
        return word.replace(word[0], word[0].toUpperCase());
    }).join(' ');
}

db.User.find().forEach(function(doc){
    db.User.update(
        { "_id": doc._id },
        { "$set": { "firstName": titleCase(doc.firstName) } }
    );
});