Búsqueda de texto de objeto anidado en mongoDB

Con el marco de agregación podría verse así

db.getCollection('yourCollection').aggregate([
    {
        $unwind: '$arr'
    },
    {
        $match: {
            $or: [
                { 'arr.name': /world/i },
                { 'arr.description': /world/i }
            ]
        }
    },
    {
        $project: {
            _id: '$arr._id',
            name: '$arr.name',
            description: '$arr.description'
        }
    }
])

lo que dará como resultado el siguiente resultado para sus datos de ejemplo:

{
    "_id" : 1,
    "name" : "Random",
    "description" : "Hello world"
}
{
    "_id" : 2,
    "name" : "World",
    "description" : "This is a random description"
}  

Si necesita una sola matriz con los documentos resultantes como se muestra en su pregunta, simplemente puede encadenar un toArray() llamada al final de la canalización; tenga en cuenta que esto puede causar un mayor consumo de memoria en el caso de grandes conjuntos de resultados, como lo señala SSDMS en los comentarios.