Buscar documentos donde un campo se compara con otro en una matriz

Todavía puedes usar aggregate() aquí con MongoDB 3.2, pero solo usando $redact en cambio:

db.boards.aggregate([
  { "$redact": {
    "$cond": {
      "if": {
        "$and": [
          { "$ne": [ "$createdBy._id", "$owner._id" ] },
          { "$setIsSubset": [["$createdBy._id"], "$acl.profile._id"] }
        ]
      },
      "then": "$$KEEP",
      "else": "$$PRUNE"
    }
  }}
])

O con $where para el shell MongoDB 3.2, solo necesita mantener una copia con alcance de this , y tu sintaxis estaba un poco mal:

db.boards.find({
  "$where": function() {
    var self = this;
    return (this.createdBy._id != this.owner._id)
      && this.acl.some(function(e) {
        return e.profile._id === self.createdBy._id
     })
  }
})

O en un entorno compatible con ES6 entonces:

db.boards.find({
  "$where": function() {
    return (this.createdBy._id != this.owner._id)
      && this.acl.some(e => e.profile._id === this.createdBy._id)
  }
})

El agregado es la opción de mayor rendimiento de las dos y siempre debe ser preferible al uso de la evaluación de JavaScript

Y si sirve de algo, la sintaxis más nueva con $expr sería:

db.boards.find({
  "$expr": {
    "$and": [
      { "$ne": [ "$createdBy._id", "$owner._id" ] },
      { "$in": [ "$createdBy._id", "$acl.profile._id"] }
    ]
  }
})

Usando $in en preferencia a $setIsSubset donde la sintaxis es un poco más corta.

    return (this.createdBy._id.valueOf() != this.owner._id.valueOf())
      && this.acl.some(e => e.profile._id.valueOf() === this.createdBy._id.valueOf())