¿Hacer coincidir dos campos diferentes en Mongoose, Aggregate?

Puede utilizar la siguiente agregación:

db.col.aggregate([
    {
        $addFields: {
            weightedIds: {
              $map:
                 {
                   input: "$weighted",
                   as: "w",
                   in: "$$w.phaseId"
                 }
            }
        }
    },
    {
      $project: {
        _id: 1,
        weighted: 1,
        phases: {
            $filter: {
             input: "$phases",
             as: "phase",
             cond: { $gte: [ { $indexOfArray: [ "$weightedIds" , "$$phase._id" ] }, 0 ] }
            }
        }
      }
    }
])

Estamos usando $map para tomar solo phaseId campo de weighted y luego podemos filtrar phases usando $filter comprobando para cada fase si corresponde id existe (utilizando $indexOfArray que devuelve -1 en caso contrario)