Mi método $push en Mongoose no funciona bien

Parece que no estás usando $push correctamente. Intente pasar la ruta correcta al operador, que en su caso es:

Users.findByIdAndUpdate(req.params.id, {
    timeHistory: {
        $push: {
            time: "some text"
        }
    }
})

Aquí hay un ejemplo en mongoplayground .