¿Cómo hacer esta consulta MongoDB usando java?

Idealmente, su consulta mongoDB debería ser así:-

db.yourCollection.find({"startDate": {$lt: endDate}})

que se puede escribir en Java así:-

BasicDBObject query = new BasicDBObject("startDate", new BasicDBObject("$lt", endDate);
DBCursor cursor = coll.find(query);

Puede consultar el Tutorial oficial

Si desea utilizar QueryBuilder , puedes hacerlo así:-

DBObject query = QueryBuilder.start("startDate").lessThan("endDate").get();
DBCursor cursor = coll.find(query);