Tienes que ensamblar la expresión regular mediante programación. Así que:
import re
regex = re.compile('^' + re.escape(variable))
items = collection.find({ 'key': regex })
O
items = collection.find({'key': { '$regex': '^' + re.escape(variable) }})
Tenga en cuenta que el código usa re.escape
para escapar de la cadena en caso de que contenga caracteres especiales.
