Consulta de Mongodb en elementos de matriz anidados

Dado que no hay forma de saber qué controlador usa, aquí hay una solución de shell:

db.foo.find({
    "Asset.Metadata.Platforms.Platform": {
        $elemMatch: {
            "@name": VAR_PLATFORM,
            "PublishingRanges.PublishingRange": {
                $elemMatch: {
                    "@startdate": {$gt: VAR_START},
                    "@enddate": {$lt: VAR_END}
                }
            }
        }
    }  
})

Por cierto, podría simplificar la estructura del documento omitiendo Platform y PublishingRange y asignando arreglos a Platforms un PublishingRanges respectivamente.