¿Se cierra automáticamente una conexión a MongoDB en process.exit()?

La respuesta es no . Las conexiones de la base de datos no se cierran correctamente cuando sale (o falla).

Para hacer eso deberías usar algo similar a:

// Create a function to terminate your app gracefully:
function gracefulShutdown(){
    // First argument is [force], see mongoose doc.
    mongoose.connection.close(false, () => {
      console.log('MongoDb connection closed.');
    });
  });
}

// Ask node to run your function before exit:

// This will handle process.exit():
process.on('exit', gracefulShutdown);

// This will handle kill commands, such as CTRL+C:
process.on('SIGINT', gracefulShutdown);
process.on('SIGTERM', gracefulShutdown);
process.on('SIGKILL', gracefulShutdown);

// This will prevent dirty exit on code-fault crashes:
process.on('uncaughtException', gracefulShutdown);

También hay algunos paquetes para manejar este comportamiento, pero esto suele ser muy sencillo y fácil de implementar.